επίπεδο

Κάθε επιφάνεια, πάνω στην οποία εφαρμόζει η ευθεία προς όλες τις διευθύνσεις. Στην αναλυτική γεωμετρία, το ε. χαρακτηρίζεται ως το καρτεσιανό γινόμενο R χ R (όπου R είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών), δηλαδή το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x, ψ) από πραγματικούς αριθμούς. Χαρακτηρίζεται τότε ως ευθεία κάθε υποσύνολο του επιπέδου, με την ιδιότητα ότι κάθε σημείο του (x, ψ) ικανοποιεί μια εξίσωση α’ βαθμού: αx + βψ + γ = 0 (όπου δεν ισχύει α = β = 0· α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί). Στο ε. εισάγονται αμφιμονοσήμαντες απεικονίσεις στον εαυτό του, που μετασχηματίζουν τις ευθείες σε ευθείες· έτσι, εισάγεται στο ε. μια ομοπαραλληλική γεωμετρία (κατ’ αυτή, π.χ., δύο παραλληλόγραμμα μετασχηματίζονται αμοιβαία με έναν κατάλληλο μετασχηματισμό). Αν περιοριστούμε σε εκείνους από τους προηγούμενους μετασχηματισμούς που διατηρούν αμετάβλητη την απόσταση, εισάγουμε μια μετρική γεωμετρία (το ε. χαρακτηρίζεται τότε ως ευκλείδιο). Αν αντί του σώματος R των πραγματικών αριθμών, θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σώμα Κ και επαναλάβουμε τα προηγούμενα, διατηρώντας τον ορισμό της ευθείας (οι συντελεστές α, β, γ τώρα είναι στοιχεία του σώματος Κ), φτάνουμε σε μια ενδιαφέρουσα γενίκευση. Ειδικά, αν το Κ είναι το σώμα G των μιγαδικών αριθμών, έχουμε το μιγαδικό ε. G x G (δεν πρέπει να γίνεται σύγχυση με τον όρο ε. των μιγαδικών αριθμών). Στον συνήθη τρισδιάστατο χώρο, ένα ε. χαρακτηρίζεται ως το υποσύνολο του χώρου, που κάθε σημείο του (x, ψ, z), ως προς ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων, ικανοποιεί μια εξίσωση Αx + Βψ + Γz + Δ = 0 (Α, Β, Γ πραγματικοί αριθμοί και δεν ισχύει Α = Β = Γ = 0). Ωστόσο, επίπεδη καμπύλη ονομάζεται κάθε γραμμή του επιπέδου, που η αλγεβρική μορφή της είναι ψ = f(x) σε καρτεσιανές συντεταγμένες, όπου f(χ) είναι πολυώνυμο του χ, βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2.